Calvin and Eco (wandering)

話說今天我又很乖的去上那幼稚園的微積分, 邊聽邊畫畫...忽然聽到一題熟悉的問題：一圓筒奶粉罐容積為 k, 請問最節省材料的設計為何？

我想：這未免太簡單了...先令 V(r, h)=k=πr²．h, 再令 A(r,h)=2πr²+2πr．h, 將 h(r) 代入 A(r,h) 使成為 A(r), 對 r 微分, 再令其等於零即可求得。最後答案 r=(k/2π)^(1/3), h=(4k/π)^(1/3)。老師就解到這裡, 開開心心的寫上答案。

但是神奇的東西來了。我發現 r 跟 h 在 k 跟 π 的 order 上是一樣的, 也就是說這兩個量可以消掉變成： r : h = (k/2π)^(1/3) : (4k/π)^(1/3) = (k/2π)^(1/3)． (4k/π)^(2/3) : 4k/π = (k/π)．(16/2)^(1/3) : 4k/π = 2/4 = 1/2

也就是說, 無論 k 是多少, r 跟 h 的比例是固定的, 一定是 1:2！這未免太神奇了吧？

就圓筒的幾何特性來說, r 跟 上下圓底的關係有一個必然的 π 倍, 反觀高度 h 則否。那為什麼在體積受限時, 這兩個量會有這樣一個有理數的關係呢？

老實說我不太知道要怎樣回答這個問題, 也沒有答案, 不過我倒是有一個自己亂想的結果：無論 r 或是 h, 在貢獻表面積的時候, 都會牽扯到 π。表面上高度 h 與圓周率看似無關, 實際上圓周的大小也決定了邊上矩形的面積。總而言之在考慮固定體積下使用最少的表面積的問題時, r 跟 h 的比例中圓周率會被消掉。這真是一個神奇的結果阿。

另外, 老師的答案真是太難看了, 但為了我自己的分數, 還是不要糾正他好了。:D