Calvin and Eco (wandering)

這裡的零當然不是一般我們在實數域講的那個零, 而是就一般意義的環而言, 他的加法單位元素（ｕｎｉｔｙ）。這個問題還在大學的時候就一直困擾著我, 可是所有抽象代數的書都好像把這件事當作理所當然, 證明中都直接拿來用, 對「零乘以任何數等於零」這件事本身卻沒有任何證明。

直到最近我在讀 GRE 的時候才忽然不知怎麼回事豁然開朗, 其實事實擺在眼前, 證明相當簡單, 只要具備基本的一點代數知識就可以證明了：

對於任意環 (R, +, *) 已知如下：

1. + 滿足交換律
2. (R, +) 有 identity e, 即對於所有的 a in R, a + e = a
3. (R, +) 中每個元素都有反元素, 即 a + (-a) = e 對於所有的 a in R 皆成立

另外 (R, *) 是一個 semigroup, 所以他只滿足結合律, 以及 +, * 滿足分配
律, 即 a*(b+c) = a*b + a*c

a + e = a

所以 a*e= a*(e + e) （e+e=e）

根據分配律, 所以 a*e=a*e + a*e (%)

由於任意 binary structure 皆具有封閉性, 所以 a*e 一定在環中

而對於任意 n 屬於 R, 存在 -n 使得 n+(-n) = e

所以一定存在 -(a*e) 使得 a*e + (-(a*e)) = e

所以 (%) 式兩邊加上 - (a*e) 就得到 e = a*e

Q.E.D.


其實只是幾步簡單到不行的邏輯推演, 但是不寫下來的話就沒辦法很直觀的看出來...數學還真神奇。