從小到大我的數學一直都很爛, 國一的時候第一次數學小考, 我只有拿十二分, 到國二的時候, 我才發現我連分數加法等等基本四則運算都還很有問題。不過一直以來我都隱約覺得我在幾何方面有一點天分, 只要是跟幾何有關的問題通常我都很快能掌握重點, 然後找出最快的方法解決, 所以國三的數學讓我如魚得水, 幸得如此, 在代數上的差勁表現沒有讓我對數學打退堂鼓。
不過即使如此, 即使我高中有半玩票性質的申請過清華數學系, 我還是沒有想過自己會踏進數學這塊領域。我對數學的認知一直都是只有「神奇」兩個字, 用很多很直觀的小小論述, 忽然推出一個很強的邏輯結論, 而這個邏輯結論看上去跟你那些簡單的前提似乎都無關。
然而這九個月的數學薰陶讓我了解了這個認知的謬誤所在, 我忘記是哪個數學家說過, 在數學裡, 符號本身的重要性就佔了一半以上, 而真正的數學本身只是另外一半。我不敢說他說的對不對, 不過我自己體悟倒是有一點, 好的符號可以讓你很快掌握精髓, 爛的符號會讓你思路一塌糊塗。我發現過去我覺得深奧的定理, 其實只是他的符號我不熟悉（因為我只到考試才唸書, 我很懶）, 看數學符號沒辦法像看文字一樣迅速而確實, 以致於看定理就沒辦法像看小說一樣輕鬆而自在。
舉例而言, 在 Graph Theory 裡面有一個很重要的定理叫做 Menger's Theorem, 內容如下：
Let G = (V, E) be a graph and A, B ⊆ V. Then the minimum number of vertices separating A from B in G is equal to the maximum number of disjoint A-B paths in G.
我敢說, 如果你沒念過大學數學, 你肯定看不懂這在說什麼。老實說我剛看到的時候也不知道他在說什麼, 但其實他講的是非常直觀的一件你我都知道的事情：
有一個大峽谷。上面有許多座用繩子編成的繩橋。如果你要從峽谷的一邊到另一邊, 你只能透過繩橋, 而每一座繩橋都只要砍一刀就會斷。Menger's Theorem 說的就是, 今天你是個壞人, 你想要透過砍橋來阻止別人從峽谷的一邊到另一邊, 那你要砍的刀數, 至少要等於橋的數量。
上面那一堆囉哩囉唆的符號說的東西其實差不多只是這樣, 只是他用更嚴謹的符號和邏輯去定義每個元素之間的關係而已。這其實是很顯而易見的, 也許很多人沒有經歷過我這段無知的過程, 不過一直以來我都被數學深奧的外表給蒙在鼓裡, 當我發現這件事的時候, 數學的「神奇」神話就不攻自破了, 數學也就變得稍微比較有趣。
另外這九個月我重新認識了數學裡面最重要的兩大招換獸：Mathematical Induction（數學歸納法）和 Prove by Contradiction（歸謬證法）。這兩隻寵物高中的時候學校老師就有介紹了, 我當時完全沒把牠們當一回事, 現在想起來完全是老師的錯！（對！不是我的錯！）這麼重要的寵物, 老師竟然用像證明 Σ 1/n^2 級數公式這種無腦教學法帶過去, 難怪我數學一直那麼爛！
我真正認識到 Mathematical Induction 的意義已經是大二的時候, 有天我在讀 Apostal 的 Linear Algebra, 某個地方我忘記為什麼他忽然講起了 Mathematical Induction。他說 Inductive Hypothsis 其實就像骨牌一樣, 你只要確定你可以推倒第一個骨牌, 然後你又確定每個骨牌倒下時都會推倒下一個骨牌, 那你不用看結果, 你也知道每一塊骨牌一直到最後一塊骨牌一定都會倒下。我看到這段敘述的時候整個超級震驚, 靠！原來數學歸納法是這個意思, 我以前完全搞不懂為什麼我可以假設什麼 k-1 成立什麼鳥的, 當時完全豁然開朗。這麼簡單的說明, 為啥高中老師都不會講？難道他們都跟我一樣糨糊腦嗎？我們國家就靠這些糨糊腦老師來作愚英才嗎？而另外一隻寵物 Proof By Contradiction 就沒那麼幸運了, 我一直到二十五歲才認識牠。之前雖然讀過一些跟不完備定理有關的介紹性文字, 但不是做數學的, 所謂的理解還是不夠全面。
然而真正發現他們是超強的招換獸, 還是這一年念數學。上學期剛開始我還像個白癡, 很多證明都用無腦硬爆法, 常常其實用 Proof By Contradiction 就可以瞬殺, 或是有的時候可以把 P->Q statement 改成等價的 -Q -> -P statement 再證明會直觀很多。而 IH (Inductive Hypothesis) 更是至寶, 只要跟自然數有關的證明, 想不出來的時候招換牠就對了, 牠絕對不會讓你失望的！
度過無知的上學期, 才在這學期將很多同學早就具備的基本技能內化, 而且很多時候是到最後關頭（比如考試中）才忽然體會到禪的真諦, 瞬間捏盤而得救, 說來我運氣也是蠻好的, 哈哈。
最後我要感謝這九個月來對我幫助最大的三個人, 第一個是我德國的好朋友 Sebastien, 雖然他圍棋下的很爛, 但他數學造詣奇高無比, 很多道理我是拜讀他的作業才領悟的, 更重要的是在最後考試前兩天他緊急從漢堡 email 給我他的解析數論解答拯救了我這腦殘, 這個恩德我永遠銘記在心。第二位是我在批踢踢上認識的一位數學板常客 Laguna, 我想他應該是念 U of Columbia 的博士生吧, 他在數學方面真的是奇強無比, 在解析數論上甚至遠遠超越了我崇拜的 Sebastien, 如果沒有他的技術支援回答我無數愚蠢的問題, 我單靠 Sebasiten 大概也活不下來。最後最重要的當然是我家的矮包, 給我無比的精神上支持, 讓我現在還有兩條腿站的好好的, 我真幸運。:)
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