作者: yhliu (老怪物) 看板: Math
說 0! = 1 是定義, 說是為了 P(n,n)=n!/0!=n!, 說是為
了 n! = n*(n-1)! 這些都沒錯!
但有沒有想過 P(n,r) 的本來意義? 甚至, 從 P(n,r) 來
想的話 n! 是怎麼來的?
有沒有想過 n! = n[(n-1)!] 的適用範圍?
"0! = 1" 的意義是甚麼? "n!" 除了遞迴式的定義以外,
它有沒有 "實務" 的意義?
事實上, 依遞迴定義, 不一定要有 0! 它可以定義為
n! = 1 if n=1
= n[(n-1)!] if n>1, n 是整數
當然也可以定義
n! = 1 if n=0
= n[(n-1)!] if n 是正整數
因此, 以 n! = n[(n-1)!] 來說明為甚麼 "0! = 1" 並不
充分 ... n! = n[(n-1)!] 怎麼來的? 不先釐清這一點,
就不能說明為何 0! 要定義為 1.
P(n,r) = n!/(n-r)! 是公式(定理/表示法), 或是定義?
P(n,r) 是
"從 n 件相異物取出 r 件排成一直線的方法數"
P(n,n) 是 r=n 的特例. 因此, 是先有 P(n,r) 再有公式
n!/(n-r)! 或直接定義 "P(n,r) = n!/(n-r)!"?
"從 n 件相異物取出 r 件排成一直線的方法數" 怎麼得?
(0) r 個位置 (固定)
(1) 第一個位置有 n 種選擇 (n 件相異物)
(2) 第 2 個位置有 n-1 種選擇
(3) 以此類推, 至第 r 個位置有 n-r+1 種選擇
因此得 P(n,r) = n(n-1)...(n-r+1), 也得遞迴式
P(n,1) = n
P(n,r) = P(n,r-1)*(n-r+1)
所以 P(n,n) = n(n-1).....1 而將它定義為 n!. 然後得
公式 P(n,r) = n!/(n-r)! for n>r≧1, n, r 為整數.
所以, "0!" 是甚麼? 0!=P(0,0), 如果我們允許 P(n,r)
的 n 可以是 0. "允許" 有二義: 一是數學形式定義; 二
是它具有實務意義. 形式定義可以由
P(n,r)=n!/(n-r)! if n>r≧1, n, r 為整數
擴充為
P(n,r)=n!/(n-r)! if n≧r≧0, n, r 為整數.
而這樣的擴充當然要有 0! 的定義, 而且必須 0!=1.
P(0,0) 的實務意義呢? 依 P(n,r) 或 P(n,n) 的意義,
P(0,0) = 0件相異物,0個位置(考慮順序),
其排列方法數
= 0!
0件相異物, 0個位置,
方法數若干? 曰: 1.
為甚麼是 1? 曰: 不作為也.
為何沒任何動作也可算一種? 曰: 動與不動, 皆是選擇.
以此觀點,
P(n,r) = 1 if r=0 而 n 是非負整數
= 0 if n
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