Assume f is multiplicative. Prove that f is completely multiplicative if and only if f^(-1)[p^a] = 0 for all primes p and all a ≧ 2.
這題比昨天的還要難很多。我對著 f^(-1)[p^a] = 0 這條恆等式幾乎發呆了一個多小時。之後幾乎無論在做什麼時候這條恆等式都會浮現在我的腦海。
不過實際上解題的過程要比前面要順利很多, 後來又順利在短時間內解出一題更困難的。 現在我發現其實這幾個題目並不是真的很難, 只是由於我還只是個數學的初學者, 會卡在其實根本不必要卡住的地方。比如說我對處理 singularity 的方法沒有概念, 所以每次碰到 singularity 就傻住了。還有在算術上有很多好用的公式, 很多是很久以前學的方法和概念的延伸, 因為大學被工程數學污染四年, 對原來的東西沒有那麼熟悉, 稍微變化之後就更看不出來了。
這幾天跟 Number Theory 糾纏, 一開始真的是想到頭痛。一看到就想把那數學式子拆爛。後來我發現其實只是方向不對, 如果沒有辦法找到正確的方向, 就會在那裡想破頭, 而且我還發現了另外一件有趣的事, 就是即使我認為想破頭沒有任何進展的時候, 實際上我的腦袋自己還是有慢慢的往正確的方向在修正, 所以後來才能在不經意中想到正確的路子。就像我以前玩 F-Zero 的劇情模式一樣, 一開始看到的時候覺得根本超越人類極限了, 在嘗試十次二十次之後, 還是覺得幾乎像 log 曲線一樣, 進步越來越少碰到瓶頸, 可是隔天再玩忽然就覺得好像簡單一百倍一樣。也許我們都應該給自己的腦袋一點內化的時間吧, 哈哈哈。
Number Theory 真的蠻有趣的, 雖然想破頭的時候會覺得很惱火。
PS 一定要提到的是名為 Sebastian Eggert 的德國來的好人, 在我近乎自暴自棄的時候告訴了我一些數學小訣竅, 讓我順利的解決兩題其實很簡單但是困擾我非常非常久的難題。在此偷偷頒給他感謝狀一張。
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